Question

设双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）恒过定点A（1，2），则双曲线的中心到直线l：x=

a2

c

的距离的最大值为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,直线与圆锥曲线的关系

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）恒过定点A（1，2），可得

1

a2

-

4

b2

=1，利用椭圆几何量之间的关系，设

a2

c

=

1

t

，可求得t²的最小值，因为双曲线的中心就是原点，从而即可求得双曲线的中心到直线l的距离

1

t

的最大值．

解答： 解：设双曲线的焦距为2c，同时可设

a2

c

=

1

t

，∴c=ta²
∵双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1恒过定点A（1，2），0＜a＜1
∴

1

a2

-

4

b2

=1
∴b²-4a²=a²b²
∴c²-3a²=a²（a²-c²）
∴t²a⁴-3a²=a²（a²-t²a⁴）
∴t²=

a2+3

a2+a4

=

1

1+a2

+

3

a2+a4

≥

2 3

a(1+a2)

∵双曲线的中心就是原点
∴双曲线的中心到直线l：x=

a2

c

的距离的最大值为

1

t

=

2 3 a(1+a2)

2 3

．
故答案为：

2 3 a(1+a2)

2 3

．

点评：本题主要考察了双曲线的简单性质，直线与圆锥曲线的关系，属于基础题．