Question

设向量

a

=（x，2），

b

=（x+n，2x-

3

2

），n∈N⁺，函数f（x）=

a

•

b

在[0，1]上的最小值与最大值的和为a_n，数列{b_n}的前n项和S_n满足：S_n+4b_n=n（n∈N⁺）
（Ⅰ）求a_n
（Ⅱ）证明数列{b_n-1}为等比数列，并求出b_n的表达式；
（Ⅲ）令c_n=-a_n•（b_n-1），试问：在数列{c_n}中，是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有c_n≤c_k成立？证明你的结论．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件得f（x）=

a

•

b

=x（x+n）+2（2x-

3

2

）=x²+（4+n）x-3，由对称轴为x=-

n+4

2

，能求出a_n．
（Ⅱ）由S_n+4b_n=n（n∈N⁺），推导出bn=

4

5

bn-1+

1

5

，从而得到bn-1=

4

5

(bn-1-1)，由此能证明数列{b_n-1}是以b1-1=-

4

5

为首项，以

4

5

为公比的等比数列，进而求出bn=1-(

4

5

)n．
（Ⅲ）由c_n=-a_n•（b_n-1）=（n-1）•(

4

5

)n，推导出c₁＜c₂＜c₃＜c₄c₈＞…＞c_n，所以存在正整数k=5或k=6，使得对于任意的正整数n，都有c_n≤c_k成立．

解答： （满分14分）
（Ⅰ）解：∵向量

a

=（x，2），

b

=（x+n，2x-

3

2

），n∈N⁺，
∴f（x）=

a

•

b

=x（x+n）+2（2x-

3

2

）=x²+（4+n）x-3，
对称轴为x=-

n+4

2

，
∴函数f（x）在[0，1]上为增函数，
∴a_n=（-3）+1+（4+n）-3=n-1．
（Ⅱ）证明：∵数列{b_n}的前n项和S_n满足：S_n+4b_n=n（n∈N⁺），
令n=1，得b1=

1

5

，
当n≥2时，S_n-1+4b_n-1=n-1，
∴b_n=S_n-S_n-1=1-4b_n-1，
∴bn=

4

5

bn-1+

1

5

，
∴bn-1=

4

5

(bn-1-1)，
∴数列{b_n-1}是以b1-1=-

4

5

为首项，以

4

5

为公比的等比数列，
∴bn-1=-

4

5

×(

4

5

)n-1=-(

4

5

)n，
∴bn=1-(

4

5

)n．
（Ⅲ）解：存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有c_n≤c_k成立．
证明如下：
c_n=-a_n•（b_n-1）=（n-1）•(

4

5

)n，
c_n+1-c_n=n•(

4

5

)n+1-(n-1)•(

4

5

)n=

5-n

5

•(

4

5

)n．
∴当n＜5时，c_n+1＞c_n；当n=5时，c₆=c₅；当n＞5时，c_n+1＜c_n．
∴c₁＜c₂＜c₃＜c₄c₈＞…＞c_n，
∴存在正整数k=5或k=6，使得对于任意的正整数n，都有c_n≤c_k成立．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查等比数列的证明，考查满足条件的正整数的判断与求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．