Question

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

，写出n=1，2，3，4的值，归纳并猜想出结果，你能证明你的结论吗？

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：依题意，令n=1，2，3，4，得到相应的值，观察，即可猜想出结果，利用裂项相消法求和验证即可．

解答： 解：n=1时，

1

1×2

=

1

2

；n=2时，

1

1×2

+

1

2×3

=

1

2

+

1

6

=

2

3

；
n=3时，

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=

2

3

+

1

12

=

3

4

；n=4时，

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

=

3

4

+

1

20

=

4

5

．
观察所得结果：均为分数，且分子恰好等于和式的项数，分母都比分子大1．
所以猜想

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=

n

n+1

．
证明如下：
由

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，…，

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，得

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题考查数列的求和，考查推理运算能力，突出列项相消法的考查，属于中档题．