Question

如图所示，已知P为双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）右支上的一点，F₁，F₂分别为双曲线的左、右焦点，圆C为三角形PF₁F₂的内切圆，求圆C的圆心的横坐标．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：点P是双曲线右支上一点，按双曲线的定义，|PF₁|-|PF₂|=2a，设三角形PF₁F₂的内切圆心在横轴上的投影为A（x，0），B、C分别为内切圆与PF₁、PF₂的切点．由同一点向圆引得两条切线相等知|PF₁|-|PF₂|=（PB+BF₁）-（PC+CF₂），由此得到△PF₁F₂的内切圆的圆心横坐标．

解答： 解：因为点P是双曲线右支上一点，
所以由双曲线的定义，|PF₁|-|PF₂|=2a，
若设三角形PF₁F₂的内切圆心在横轴上的投影为A（x，0），该点也是内切圆与横轴的切点．
设D、E分别为内切圆与PF₁、PF₂的切点．考虑到同一点向圆引得两条切线相等：
则有：PF₁-PF₂=（PD+BF₁）-（PE+EF₂）
=DF₁-EF₂=AF₁-F₂A=（c+x）-（c-x）=2x=2a
所以x=a
所以内切圆的圆心横坐标为a．

点评：本题考查双曲线的定义、切线长定理，体现了转化的数学思想以及数形结合的数学思想．