题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
3
2
．
（1）证明：a2=4b2；
（2）若双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，求椭圆C的方程．
考点：椭圆的简单性质
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）利用椭圆的离心率为
3
2
，c2=a2-b2，即可得出结论；
（2）由题意，双曲线x2-y2=1的渐近线方程为y=±x，根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，可得（2，2）在椭圆上，利用e=
3
2
，即可求得椭圆方程．
解答： （1）证明：因为椭圆的离心率为
3
2
，所以e=
c
a
=
3
2
，…（1分）
即c2=
3
4
a2，
又因为c2=a2-b2…（2分）
所以
3
4
a2=a2-b2，…（3分）
所以b2=
1
4
a2，即a2=4b2，…（4分）
（2）解：双曲线的渐近线为y=±x，…（5分）
代入椭圆得
x2
a2
+
x2
b2
=1．
即
x2
4b2
+
x2
b2
=
5x2
4b2
=1．…（6分）
所以x2=
4
5
b2，x=±
2
5
b，y2=
4
5
b2，y=±
2
5
b．…（7分）
则第一象限的交点坐标为(
2
5
b，
2
5
b)．…（8分）
所以四边形的面积为S=4×
2
5
b×
2
5
b=
16
5
b2=16．…（10分）
所以b2=5..…（11分）
所以椭圆方程为
x2
20
+
y2
5
=1．…（12分）
点评：本题考查双曲线的性质，考查椭圆的标准方程与性质，正确运用双曲线的性质是关键．
练习册系列答案
相关题目
如图，ABCD是边长为2的正方形，ED⊥ABCD，ED=1，EF∥BD，且EF=
1
2
BD．
（1）求证：BF∥平面ACE；
（2）求证：平面EAC⊥平面BDEF；
（3）求二面角B-AF-C的大小．
已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的非负半轴重合，且长度单位相同，若圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的参数方程为
x=3+t
y=4+2t
（t为参数），直线l与圆C交于A，B两点．
（1）求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程；
（2）求AB的长．
在（1+x+x2）n=D
 
0
n
+D
 
1
n
x+D
 
2
n
x2+…+D
 
r
n
xr+…+D
 
2n-1
n
x2n-1+D
 
2n
n
x2n的展开式中，把D
 
0
1
，D
 
1
n
，D
 
2
n
，…，D
 
2n
n
叫做三项式系数．
（1）当n=2时，写出三项式系数D
 
0
2
，D
 
1
2
，D
 
2
2
，D
 
3
2
，D
 
4
2
的值；
（2）类比二项式系数性质C
 
m
n+1
=C
 
m-1
n
+C
 
m
n
（1≤m≤n，m∈N，n∈N），给出一个关于三项式系数D
 
m+1
n+1
（1≤m≤2n-1，m∈N，n∈N）的相似性质，并予以证明；
（3）求D
 
0
2014
C
 
0
2014
-D
 
1
2014
C
 
1
2014
+D
 
2
2014
C
 
2
2014
-D
 
3
2014
C
 
3
2014
+…+D
 
2014
2014
C
 
2014
2014
的值．
已知函数f（x）=log2（x+a）．
（1）若0＜f（1-2x）-f（x）＜
1
2
，当a=1时，求x的取值范围；
（2）若定义在R上奇函数g（x）满足g（x+2）=-g（x），且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求g（x）在[-3，-1]上的反函数h（x）；
（3）对于（2）中的g（x），若关于x的不等式g（
t-2 x
8+2 x+3
）≥1-log23在R上恒成立，求实数t的取值范围．
设p：函数f（x）=
x2-4x+a2
的定义域为R；q：?m∈[-1，1]，a2-5a-5≥m2恒成立；如果“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
过坐标原点作曲线y=lnx的切线l，该切线l与曲线y=lnx及x轴围成图形为D．
（1）求切线l的方程．
（2）求区域D的面积S．
已知函数f（x）=4sinωx•sin2（
π
4
+
ωx
2
）+cos2ωx  （ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）在[
π
6
，
2π
3
]上的最大值和最小值．
已知数列an=（-1）n•n，其前n项和为Sn，则Sn=
 
．

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