Question

已知函数f（x）=log₂（x+a）．
（1）若0＜f（1-2x）-f（x）＜

1

2

，当a=1时，求x的取值范围；
（2）若定义在R上奇函数g（x）满足g（x+2）=-g（x），且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求g（x）在[-3，-1]上的反函数h（x）；
（3）对于（2）中的g（x），若关于x的不等式g（

t-2 x

8+2 x+3

）≥1-log₂3在R上恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据对数函数的真数部分大于0，及对数的运算性质，可将不等式化为1＜

2-2x

x+1

＜

2

，且2-2x＞0且x+1＞0，解不等式组可得x的取值范围；
（2）函数g（x）满足g（x+2）=-g（x），表示函数的周期为4，结合函数g（x）为奇函数，可求出x∈[-3，-1]时，函数g（x）的解析式，进而得到其反函数；
（3）利用对数函数的单调性及对数的运算性质，可将不等式转化log₂（

2x-t

8+2x+3

-1）≥1-log₂3，由此可得实数t的取值范围．

解答： 解：（1）原不等式可化为0＜log2(2-2x)-log2(x+1)＜

1

2

，
∴1＜

2-2x

x+1

＜

2

，且2-2x＞0，且x+1＞0，
得3-2

2

＜x＜

1

3

．
（2）∵g（x）是奇函数，∴g（0）=0，得a=1，
当x∈[-3，-1]时，-x-2∈[-1，1]，
g（x）=-g（x+2）=g（-x-2）=log₂（-x-1），
此时g（x）∈[-1，1]，x=-2^g（x）-1，
h（x）=-2^x-1（x∈[-1，1]）．
（3）∵x的不等式g（

t-2 x

8+2 x+3

）≥1-log₂3在R上恒成立，
∴log₂（

2x-t

8+2x+3

-1）≥1-log₂3，
整理，得：3t=-37•2^x-40＜-77，
∴t＜-

77

3

．

点评：本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，函数的奇偶性，函数的周期性，函数的单调性，反函数，对数的运算性质，存在性问题，函数的最值，是函数图象和性质较为综合的应用，难度较大．