Question

抛物线x²=ky与曲线y=lnx的公共切线方程为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：联立两曲线方程，消去y，分离参数k=

x2

lnx

，设f（x）=

x2

lnx

，求出导数，得到单调区间和极值，这也是两函数图象相切的临界值，进而得到切点，由（lnx）′=

1

x

，即有切线斜率，再由点斜式方程，即可得到所求切线方程．

解答： 解：抛物线为y=

1

k

•x²，曲线为y=lnx，其中x＞0，
联立方程得，

1

k

•x²=lnx，分离参数k=

x2

lnx

设f（x）=

x2

lnx

，则f'（x）=

x(2lnx-1)

(lnx)2

，
由f′（x）=0，解得x=

e

，
由于x＞

e

时，f（x）递增，0＜x＜

e

递减，
则f（x）在x=

e

处取得极小值，这也是两函数图象相切的临界值，
此时参数k=f（

e

）=2e（这个k不是斜率），切点为（

e

，

1

2

），
由于（lnx）′=

1

x

，即有切线斜率为

1

e

，
公切线的方程为：y-

1

2

=

1

e

（x-

e

），即为
y=

1

e

x-

1

2

．
故答案为：y=

1

e

x-

1

2

．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程，联立方程运用导数求得极值点，得到切点是解题的关键．