Question

19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=1，2b-$\sqrt{3}$c=2acosC，sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则△ABC的面积为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{\sqrt{3}}{4}$
• D． $\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 2b-$\sqrt{3}$c=2acosC，利用正弦定理，求出A；sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得C=60°或120°，分类讨论，可得三角形面积．

解答 解：∵2b-$\sqrt{3}$c=2acosC，
∴由正弦定理可得2sinB-$\sqrt{3}$sinC=2sinAcosC，
∴2sin（A+C）-$\sqrt{3}$sinC=2sinAcosC，
∴2cosAsinC=$\sqrt{3}$sinC，
∴cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$∴A=30°，
∵sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴C=60°或120°
A=30°，C=60°，B=90°，a=1，∴△ABC的面积为$\frac{1}{2}×1×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
A=30°，C=120°，B=30°，a=1，∴△ABC的面积为$\frac{1}{2}×1×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
故选：C．

点评 本题考查正弦定理，考查三角形面积的计算，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．