Question

3．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=（$\frac{1}{2}}$）^|x-1|+m，若函数f（x）有5个零点，则实数m的取值范围是$（{-1，-\frac{1}{2}}）$．

Answer 1

分析 问题转化为y=-m和g（x）=${（\frac{1}{2}）}^{|x-1|}$（x＞0），的交点个数，画出函数g（x）的图象，从而求出m的范围即可．

解答 解：f（x）是奇函数，f（x）有5个零点，
x=0是1个，只需x＞0时有2个零点即可，
当x＞0时，f（x）=（$\frac{1}{2}}$）^|x-1|+m，
问题转化为y=-m和g（x）=${（\frac{1}{2}）}^{|x-1|}$（x＞0），的交点个数即可，
函数画出g（x）的图象，如图示：
，
结合图象只需$\frac{1}{2}$＜-m＜1，
即-1＜m＜-$\frac{1}{2}$，
故答案为：$（{-1，-\frac{1}{2}}）$．

点评 本题考查了函数的零点问题，考查数形结合思想以及转化思想，是一道中档题．