Question

18．已知焦点在x轴上的椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），焦距为2$\sqrt{3}$，长轴长为4．直线l与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）证明：点O到直线AB的距离为定值，并求出这个定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由 $2c=2\sqrt{3}，2a=4$，$a=2，c=\sqrt{3}$，b²=a²-c²，联立基础即可得出．
（Ⅱ）（ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），①当直线AB的斜率不存在时，则△AOB为等腰直角三角形，不妨设直线OA：y=x，将y=x代入椭圆方程，解得x即可得出．
②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，可得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，由OA⊥OB，可得x₁x₂+y₁y₂=0，把根与系数的关系代入即可得出．

解答 解：（Ⅰ）   $2c=2\sqrt{3}，2a=4$，$a=2，c=\sqrt{3}$，b²=a²-c²=1，
所以椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（Ⅱ）（ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
①当直线AB的斜率不存在时，则△AOB为等腰直角三角形，不妨设直线OA：y=x，
将y=x代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，解得$x=±\frac{2}{5}\sqrt{5}$
所以点O到直线AB的距离为$d=\frac{2}{5}\sqrt{5}$．
②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，
联立消去y得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0${x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{1+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-4}}{{1+4{k^2}}}$，
因为OA⊥OB，所以x₁x₂+y₁y₂=0，x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，
即（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，
所以$（1+{k^2}）\frac{{4{m^2}-4}}{{1+4{k^2}}}-\frac{{8{k^2}{m^2}}}{{1+4{k^2}}}+{m^2}=0$，整理得5m²=4（1+k²），
所以点O到直线AB的距离$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
综上可知点O到直线AB的距离为定值$\frac{2}{5}\sqrt{5}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次的根与系数、向量垂直与数量积运算性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．