Question

11．已知函数f（x）的定义域为R，若?常数c＞0，对?x∈R，都有f（x）+c≥f（x+c），则称函数f（x）具有性质P，给定下列三个函数：
①f（x）=$\frac{1}{2}$x+1；②f（x）=x²；③f（x）=2^x．
其中，具有性质P的函数的序号是（　　）

• A． ①
• B． ②
• C． ③
• D． ①③

Answer 1

分析 直接利用新定义，逐一判断选项即可．

解答 解：函数f（x）的定义域为R，若?常数c＞0，对?x∈R，都有f（x）+c≥f（x+c），
则称函数f（x）具有性质P，给定下列三个函数：
对于①f（x）=$\frac{1}{2}$x+1；f（x）+c=$\frac{1}{2}$x+1+c＞$\frac{1}{2}$x+1+$\frac{c}{2}$=f（x+c），满足新定义，所以①正确；
对于②f（x）=x²；f（x）+c=x²+c；
f（x+c）=（x+c）²=x²+2cx+c²，对?x∈R，1≥2x+c，不恒成立，所以②不正确；
对于③f（x）=2^x，f（x）+c=2^x+c；
f（x+c）=2^x+c=2^c2^x，如果f（x）+c≥f（x+c），可得2^x+c≥2^c2^x，即$\frac{c}{{2}^{c}-1}≥{2}^{x}$，
此式对于?x∈R不恒成立，所以③不满足新定义．
故选：A．

点评 本题考查新定义的应用，函数与方程的综合应用，考查转化思想以及计算能力．