Question

16．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=3-2a_n，（n∈N^*）．
（1）证明：{a_n}是等比数列；
（2）证明：对于任意正整数n，都有1≤S_n＜3．

Answer 1

分析 （1）由S_n=3-2a_n，（n∈N^*），可得a₁=S₁=3-2a₁，解得a₁=1．n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可证明．
（2）由（1）可得：a_n=$（\frac{2}{3}）^{n-1}$，S_n=3-2×$（\frac{2}{3}）^{n-1}$．由?n∈N^*，$（\frac{2}{3}）^{n-1}$∈（0，1]，即可证明．

解答 证明：（1）∵S_n=3-2a_n，（n∈N^*），
∴a₁=S₁=3-2a₁，解得a₁=1．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3-2a_n-（3-2a_n-1），化为${a}_{n}=\frac{2}{3}$a_n-1．
∴数列{a_n}是等比数列，首项为1，公比为$\frac{2}{3}$．
（2）由（1）可得：a_n=$（\frac{2}{3}）^{n-1}$．∴S_n=3-2×$（\frac{2}{3}）^{n-1}$．
∵?n∈N^*，$（\frac{2}{3}）^{n-1}$∈（0，1]，∴对于任意正整数n，都有1≤S_n＜3．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其求和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．