Question

6．口袋中装有2个白球和n（n≥2，n∈N^*）个红球，每次从袋中摸出2个球（每次摸球后把这2个球放回口袋中），若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则为不中奖．
（Ⅰ）用含n的代数式表示1次摸球中奖的概率；
（Ⅱ）若n=3，求3次摸球中恰有1次中奖的概率；
（Ⅲ）记3次摸球中恰有1次中奖的概率为f（p），当f（p）取得最大值时，求n的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设“1次摸球中奖”为事件A，利用互斥事件概率加法公式能求出用含n的代数式表示1次摸球中奖的概率．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得若n=3，则1次摸球中奖的概率为p=$\frac{2}{5}$，由此能求出3次摸球中，恰有1次中奖的概率．
（Ⅲ）设“1次摸球中奖”的概率为p，则3次摸球中，恰有1次中奖的概率为f（p）=3p³-6p²+3p，（0＜p＜1），由此利用导数性质能求出当f（p）取得最大值时，n的值．

解答 解：（Ⅰ）设“1次摸球中奖”为事件A，
则P（A）=$\frac{{C}_{2}^{2}+{C}_{n}^{2}}{{C}_{n+2}^{2}}$=$\frac{{n}^{2}-n+2}{{n}^{2}+3n+2}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得若n=3，则1次摸球中奖的概率为p=$\frac{2}{5}$，
∴3次摸球中，恰有1次中奖的概率为P₃（1）=${C}_{3}^{1}p（1-p）^{2}$=3×$\frac{2}{5}×（\frac{3}{5}）^{2}$=$\frac{54}{125}$．
（Ⅲ）设“1次摸球中奖”的概率为p，
则3次摸球中，恰有1次中奖的概率为：
f（p）=${C}_{3}^{1}p（1-p）^{2}$=3p³-6p²+3p，（0＜p＜1），
∵f′（p）=9p²-12p+3=3（p-1）（3p-1），
∴当p∈（0，$\frac{1}{3}$）时，f（p）取得最大值，
令$\frac{{n}^{2}-n+2}{{n}^{2}+3n+2}$=$\frac{1}{3}$，解得n=2或n=1（舍），
∴当f（p）取得最大值时，n的值为2．

点评 本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．