Question

如图关于星星的图案构成一个数列{a_n}，a_n（n∈N^*）对应图中星星的个数．

（1）写出a₅，a₆的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{

1

an

}的前n项和S_n，求证S_n＜2；
（3）若b_n=

2n2-9n-11

2n

，对于（2）中的S_n，有c_n=S_n•b_n，求数列{|c_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,归纳推理

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由图的规律求出a₅，a₆的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）求出

1

an

=

2

n(n+1)

，再进行裂项，利用裂项相消法求出前n项和S_n，化简后证明不等式成立；
（3）由（2）化简S_n，代入c_n=S_n•b_n进行因式分解，由通项公式判断出是等差数列，再由前n项和公式求数列{c_n}的前n项和T_n′，根据正负项对n分类后，分别去到绝对值后，利用和T_n′求出数列{|c_n|}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）由图得，a₅=1+2+3+4+5=15，a₆=1+2+3+4+5+6=21，
所以a_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

；　
证明：（2）由（1）得，

1

an

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
则S_n=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=2（1-

1

n+1

）=2-

2

n+1

又n∈N^*，所以S_n＜2；
解：（3）由（2）得S_n=2-

2

n+1

=

2n

n+1

，
由题意得，c_n=S_n•b_n=

2n

n+1

•

2n2-9n-11

2n

=

(2n-11)(n+1)

n+1

=2n-11，
则数列{c_n}是以2为公差、以-9为首项的等差数列，
所以数列{c_n}的前n项和T_n′=c₁+c₂+…+c_n=

n(-9+2n-11)

2

=n²-10n，
①当1≤n≤5时，T_n=|c₁|+|c₂|+…+|c_n|=-（c₁+c₂+…+c_n）=-n²+10n，
②当n≥6时，T_n=|c₁|+|c₂|+…+|c_n|
=-（c₁+c₂+…+c₅）+（c₆+c₇+…+c_n）
=-T₅′+T_n′-T₅′=-2T₅′+T_n′=n²-10n+50，
综上得，Tn=

-n2+10n，1≤n≤5 n2-10n+50，n≥6

．

点评：本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式，裂项相消法求数列的和，以及分类讨论思想，归纳推理，比较综合．