Question

已知函数f（x）=

1

3

x³+bx²+cx+

1

6

的图象在点M（1，f（1））处的切线方程为2x+y=0．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）若关于x的方程f（x）=m在区间[0，3]上恰有两个相异实根，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数解析式的求解及常用方法,根的存在性及根的个数判断

专题：计算题,数形结合,导数的综合应用

分析：（1）求出函数f（x）的导数，在点M（1，f（1））处的切线方程为2x+y=0，则f（1）=-2，f′（1）=-2．列出关于b，c的方程，解出即可；
（2）求出f（x）在区间[0，3]上的最值，画出图象，以及直线y=m，通过图象观察即可得到满足条件的m的取值范围．

解答： 解：（1）f（x）=

1

3

x³+bx²+cx+

1

6

的导数f′（x）=x²+2bx+c，
∵在点M（1，f（1））处的切线方程为2x+y=0，
∴f（1）=-2，f′（1）=-2．
即有

1

3

+b+c+

1

6

=-2，且1+2b+c=-2，
解得b=-

1

2

，c=-2．
则函数y=f（x）的解析式为f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2-2x+

1

6

．
（2）f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²-2x+

1

6

，f′（x）=x²-x-2，
由于x∈[0，3]，
当0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）递减；当2＜x＜3时，f′（x）＞0，f（x）递增．
则f（x）在x=2处取极小值，也为最小值，且为-

19

6

，f（0）=

1

6

，f（3）=-

4

3

．
画出f（x）在区间[0，3]上的图象，以及直线y=m，
由图象观察得到当m∈(-

19

6

，-

4

3

]时，恰有两个交点，
即f（x）=m在区间[0，3]上恰有两个相异实根．

点评：本题考查导数的综合应用：求切线方程、求单调区间、极值和最值，同时考查数形结合的能力，属于中档题．