Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆

x2

2

+y2=1的左、右焦点分别为F₁，F₂．设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF₁与直线BF₂平行，AF₂与BF₁交于点P，且AF₁=BF₂+

2 2

3

，则直线AF₁的斜率是（　　）

• A、

  3

• B、

  2

• C、

  2

  2

• D、1

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设直线AF₁，BF₂的方程分别为x+1=my，x-1=my．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．（y₁＞0，y₂＞0）．联立

x 2 1 +2 y 2 1 =2 x1+1=my1

，化为(m2+2)

y

2 1

-2my1-1=0，可得A的坐标，即可得出|AF₁|，同理可得|BF₂|．即可得出．

解答： 解：由椭圆

x2

2

+y2=1可得c=1，∴F₁（-1，0），F₂（1，0），
设直线AF₁，BF₂的方程分别为x+1=my，x-1=my．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．（y₁＞0，y₂＞0）．
联立

x 2 1 +2 y 2 1 =2 x1+1=my1

，化为(m2+2)

y

2 1

-2my1-1=0，
解得y1=

m+ 2m2+2

m2+2

．
∴|AF₁|=

m2+1

|y1|=

2 (m2+1)+m m2+1

m2+2

．
同理可得|BF₂|=

2 (m2+1)-m m2+1

m2+2

．
∴|AF₁|-|BF₂|=

2m m2+1

m2+1

=

2 2

3

，
解得m=1．
故选：D．

点评：本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．