Question

f（n）=1+

1

2

+…+

1

n

，当n≥2，n∈N^*时n+f（1）+f（2）+…+f（n-1）=nf（n），请用数学归纳法给予证明．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：证明题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：数学归纳法的一般步骤是，第一步验证第一项是否成立，第二步假设n=k时候结论成立，去验证n=k+1时候结论是否成立．若都成立即得证．

解答： 证明：1°、当n=2时，等式左边=2+f（1）=2+1=3
等式右边=2f（2）=2（1+

1

2

）=3，∴原式成立；…（4分）
2°、假设n=k（k≥2）成立，即k+f（1）+f（2）+…+f（k-1）=kf（k）…（6分）
则当n=k+1时，
等式左边=（k+1）+f（1）+f（2）+…+f（k-1）+f（k）
=k+f（1）+f（2）+…+f（k-1）+f（k）=kf（k）+f（k）+1…（10分）
=（k+1）f（k）+1=（k+1）[f（k）+

1

k+1

=（k+1）f（k+1）
即当n=k+1时，等式也成立．…（12分）
综上1°，2°可得当n≥2，n∈N^*时，n+f（1）+f（2）+…+f（n-1）=nf（n）均成立…（14分）

点评：数学归纳法的基本形式：设P（n）是关于自然数n的命题，若1°P（n₀）成立（奠基）；2°假设P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（归纳），则P（n）对一切大于等于n₀的自然数n都成立．