Question

如图，已知AD为圆O的直径，直线BA与圆O相切于点A，直线OB与弦AC垂直并相交于点G，与弧AC相交于M，连接DC，AB=10，AC=12．
（1）求证：BA•DC=GC•AD；
（2）求OA．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：立体几何

分析：（1）要证BA•DC=GC•AD，只需证

BA

AD

=

GC

DC

，由OG⊥AC，得GC=AG；即证

BA

AD

=

AG

DC

，由Rt△AGB∽Rt△DCA即可；
（2）由AC得AG，由AB求得BG；由Rt△AGB～Rt△DCA，求得AD，即圆的直径，从而得OA的值．

解答： 解：（1）证明：∵AC⊥OB，∴∠AGB=90°；
又AD是⊙O的直径，∴∠DCA=90°；
又∵∠BAG=∠ADC（弦切角等于同弧所对的圆周角），
∴Rt△AGB∽Rt△DCA；
∴

BA

AD

=

AG

DC

；
又∵OG⊥AC，∴GC=AG；
∴

BA

AD

=

GC

DC

，即BA•DC=GC•AD．
（2）∵AC=12，∴AG=6；
∵AB=10，∴BG=

AB2-AG2

=8；
由（1）知，Rt△AGB～Rt△DCA，
∴

AB

AD

=

BG

AC

，
∴AD=15，即圆的直径2r=15，
∴OA=7.5．

点评：本题考查了与圆有关的几何证明和计算问题，也考查了逻辑推理能力与空间想象能力，是基础题目．