Question

设数列{a_n}中，首项a₁=1，点（a_n，a_n+1）（n=1，2，3，…）均在直线y=2x+1上
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：本题利用点在直线上，得到数列{a_n}项与项关系，（1）再将n用1、2、3代入，分别求出数列的项a₂，a₃，a₄的值，（2）利用构造等比数列求通项，得到本题结论．

解答： 解：∵点（a_n，a_n+1）（n=1，2，3，…）均在直线y=2x+1上，
∴a_n+1=2a_n+1，
（1）∵首项a₁=1，
∴当n=1时，a₂=2a₁+1=3，
当n=2时，a₃=2a₂+1=7，
当n=3时，a₄=2a₃+1=15．
（2）∵a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∵a₁+1=2，
∴数列{a_n+1}是以2不首项，以2为公比的等比数列．
∴a_n+1=2ⁿ，
∴an=2n-1，n∈N^*．

点评：本题考查了构造法求通项，也可以用叠加法、数列归纳法等方法求数列的通项，本题难度适中，属于中档题．