Question

已知直线y=2与函数f（x）=3sin（ωx+Φ）（ω＞0，|Φ|＜

π

2

）的图象在y轴右侧的交点依次为A，B，C，…，A，C两点在x轴上的射影是A₁C₁，若矩形ACC₁A₁的面积为4，且f（2013）=-

3 3

2

，则f（x）的单调区间

 

．

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：结合矩形ACC₁A₁的面积为4，求出周期T=2，继而求出ω，再根据函数周期性，求出Φ的值，再根据正弦函数的单调性，求出单调区间

解答： 解：∵矩形ACC₁A₁的面积为4，AA₁=2，
∴A₁C₁=2，
∴T=2，
∴ω=

2π

T

=π，
∵f（2013）=-

3 3

2

，
∴f（2013）=f（1006+1）=f（1）=-

3 3

2

，
∴3sin（π+Φ）=-

3 3

2

，
∴sinΦ=

3

2

，
∵|Φ|＜

π

2

，
∴Φ=

π

3

，
∴f（x）=3sin（πx+

π

3

），
∴-

π

2

+2kπ＜πx+

π

3

≤

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ＜πx+

π

3

≤

3π

2

+2kπ，k∈z，
即-

5

6

+2k＜x≤

1

6

+2k，

1

6

+2k＜x≤

7

6

+2k，k∈z，
故f（x）的单调增区间为（-

5

6

+2k，

1

6

+2k]，单调减区间为（

1

6

+2k，

7

6

+2k]，k∈z，
故答案为：单调增区间为（-

5

6

+2k，

1

6

+2k]，单调减区间为（

1

6

+2k，

7

6

+2k]，k∈z

点评：本题考查了三角函数的周期的单调性求法，考查计算能力，属于基础题．