Question

设函数f（x）=

a

x2

+lnx，g（x）=x³-x²-3．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若存在x1，x2∈[-

1

3

，3]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，求满足条件的最大整数M；
（Ⅲ）如果对任意的s，t∈[

1

3

，2]，都有sf（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求函数f（x）的定义域，再求导f′(x)=-

2a

x3

+

1

x

=

x2-2a

x3

，从而讨论确定函数的单调性；
（Ⅱ）存在x1，x2∈[-

1

3

，3]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立可化为[g（x₁）-g（x₂）]_max≥M，从而化为求g（x）的最值，从而求解．
（Ⅲ）化简可知g（x）的最大值是1，从而可得只需当x∈[

1

3

，2]时，xf(x)=

a

x

+xlnx≥1恒成立，可化为a≥x-x²lnx恒成立，从而转化为最值问题．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=

a

x2

+lnx的定义域（0，+∞），
f′(x)=-

2a

x3

+

1

x

=

x2-2a

x3

，
①当a≤0时，f′（x）≥0，
函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当a＞0时，由f′（x）≥0得x≥

2a

，
函数f（x）的单调递增区间为(

2a

，+∞)；
由f′（x）≤0得0＜x≤

2a

，
函数f（x）的单调递减区间为(0，

2a

)．

（Ⅱ）存在x1，x2∈[-

1

3

，3]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，
可化为[g（x₁）-g（x₂）]_max≥M；
考察g(x)=x3-x2-3，g′(x)=3x2-2x=3x(x-

2

3

)；

x	- 1 3	(- 1 3 ，0)	0	(0， 2 3 )	2 3	( 2 3 ，3)	3
g'（x）		+	0	-	0	+
g（x）	- 85 27	递增	-3	递减	- 85 27	递增	15

由上表可知g(x)min=g(-

1

3

)=g(

2

3

)=-

85

27

，g（x）_max=g（3）=15；
故[g(x1)-g(x2)]max=g(x)max-g(x)min=

490

27

，
所以满足条件的最大整数M=18．

（Ⅲ）当x∈[

1

3

，2]时，由（Ⅱ）可知，g（x）在[

1

3

，

2

3

]上是减函数，
在[

2

3

，2]上增函数，而g(

1

3

)=-

83

27

＜g(2)=1，
∴g（x）的最大值是1．
要满足条件，
则只需当x∈[

1

3

，2]时，xf(x)=

a

x

+xlnx≥1恒成立，
可化为a≥x-x²lnx恒成立，
记h（x）=x-x²lnx，h′（x）=1-x-2xlnx，h′（1）=0．
当x∈[

1

3

，1)时，1-x＞0，xlnx＜0，h′（x）＞0，
即函数h（x）=x-x²lnx在区间[

1

3

，1)上递增，
当x∈（1，2]时，1-x＜0，xlnx＞0，h′（x）＜0，
即函数h（x）=x-x²lnx在区间（1，2]上递减，
∴x=1，h（x）取到极大值也是最大值h（1）=1．
所以a≥1．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，考查了构造函数的应用，属于难题．