Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点，
（1）求证：AC⊥BC₁；
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（3）求二面角B-CD-B₁正切值的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得AC⊥BC，且BC₁在平面ABC内的射影为BC，由此能证明AC⊥BC₁．
（2）设CB₁与C₁B的交点为E，连结DE，由已知得DE∥AC₁，由此能证明AC₁∥平面CDB₁．
（3）以C为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-CD-B₁正切值．

解答： （1）证明：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
底面三边长BC=3，BA=4，AB=5，
∴AC⊥BC，且BC₁在平面ABC内的射影为BC，
∴AC⊥BC₁．
（2）证明：设CB₁与C₁B的交点为E，连结DE，
∵D是AB的中点，E是BC₁的中点，
∴DE∥AC₁，
∵DE?平面CDB₁，AC₁不包含平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．
（3）解：以C为原点，建立空间直角坐标系，
B（0，4，0），C（0，0，0），A（3，0，0），
D（

3

2

，2，0），B₁（0，4，4），

CD

=（

3

2

，2，0），

CB1

=（0，4，4），
设平CDB₁的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • CD = 3 2 x+2y=0 n • CB1 =4y+4z=0

，
取x=4，得

n

=（4，-3，3），
又平面CBD的法向量

m

=（0，0，1），
设二面角B-CD-B₁的平面角为θ，
cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

3

9+9+16

|=

3

34

，
∴tanθ=

5

3

．
∴二面角B-CD-B₁正切值为

5

3

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．