Question

4．在平面直角坐标系中，O为原点，A（2，0），B（0，2），动点P满足$|\overrightarrow{AP}|$=1，则$|\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OB}|$的最大值是（　　）

• A． $2\sqrt{2}$
• B． $2\sqrt{2}+1$
• C． $2\sqrt{2}+2$
• D． $4\sqrt{2}+1$

Answer 1

分析 设P为（x，y），由题意和两点之间的距离公式求出动点P的轨迹方程和轨迹，由向量的坐标运算求出$|\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OB}|$的坐标，再判断出$|\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OB}|$的几何意义，并求出最大值．

解答 解：由$|\overrightarrow{AP}|$=1，得动点P在以A为圆心，半径为1的圆上，设P为（x，y），
$|\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OB}|=\sqrt{{x^2}+{{（y+2）}^2}}=\sqrt{{x^2}+{{[y-（-2）]}^2}}$，
∴$|\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OB}|$的最大值为点P到点（0，-2）的最大值，即圆心A到点（0，-2）的距离加半径，
$|\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OB}{|_{max}}=\sqrt{{2^2}+{{[0-（-2）]}^2}}+1=2\sqrt{2}+1$．
故选：B．

点评 本题考查了向量的坐标运算，两点之间的距离公式，动点的轨迹方程，以及代数式子的几何意义，属于中档题．