Question

16．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左右焦点分别为F₁，F₂，|F₁F₂|=2$\sqrt{5}$，点P为椭圆短轴的端点，且△PF₁F₂的面积为2$\sqrt{5}$}．
（1）求椭圆的方程；
（2）点Q是椭圆上任意一点，A（4$\sqrt{5}$，6），求|QA|-|QF₁|的最小值；
（3）点$B（1，\frac{{4\sqrt{2}}}{3}）$是椭圆上的一定点，B₁，B₂是椭圆上的两动点，且直线BB₁，BB₂关于直线x=1对称，试证明直线B₁B₂的斜率为定值．

Answer 1

分析 （1）$c=\sqrt{5}$，${S_{△P{F_1}{F_2}}}=\frac{1}{2}|{{F_1}{F_2}}|b=2\sqrt{5}$，解得b，再利用a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$，可得a，即可得出；
（2）由（1）得|QF₁|+|QF₂|=6，利用椭圆的定义、三角形三边大小关系转化即可得出．
（3）设直线BB₁的斜率为k，∵直线BB₁与直线BB₂关于直线x=1对称，可得直线BB₂的斜率为-k，于是直线BB₁、BB₂的方程，设B₁（x₁，y₁），B₂（x₂，y₂），分别与椭圆的方程联立解得x₁，x₂，再利用斜率计算公式即可得出．

解答 解：（1）∵$c=\sqrt{5}$，${S_{△P{F_1}{F_2}}}=\frac{1}{2}|{{F_1}{F_2}}|b=2\sqrt{5}$，
∴b=2，
∴a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=3，
故椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）由（1）得|QF₁|+|QF₂|=6，
∴|QA|-|QF₁|=|QA|-（6-|QF₂|）=|QA|+|QF₂|-6，
而$|{QA}|+|{Q{F_2}}|≥|{A{F_2}}|=\sqrt{{{（{4\sqrt{5}-\sqrt{5}}）}^2}+{{（{6-0}）}^2}}=9$，
于是|QA|-|QF₁|的最小值为3．
（3）证明：设直线BB₁的斜率为k，∵直线BB₁与直线BB₂关于直线x=1对称，
∴直线BB₂的斜率为-k，于是直线BB₁的方程为$y-\frac{{4\sqrt{2}}}{3}=k（x-1）$，设B₁（x₁，y₁），B₂（x₂，y₂），
由$\left\{{\begin{array}{l}{y-\frac{{4\sqrt{2}}}{3}=k（x-1）}\\{\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1}\end{array}}\right.$可得，$（{4+9{k^2}}）+6k（{4\sqrt{2}-3k}）x+9{k^2}-24\sqrt{2}k-4=0$，
∵该方程有一个根为x=1，∴${x_1}=\frac{{9{k^2}-24\sqrt{2}k-4}}{{4+9{k^2}}}$，
同理得${x_2}=\frac{{9{k^2}+24\sqrt{2}k-4}}{{4+9{k^2}}}$．
∴${k_{{B_1}{B_2}}}=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{{[{k（{{x_1}-1}）+\frac{{4\sqrt{2}}}{3}}]-[{-k（{{x_2}-1}）}]+\frac{{4\sqrt{2}}}{3}}}{{{x_1}-{x_2}}}$=$\frac{{k（{{x_1}+{x_2}}）-2k}}{{{x_1}-{x_2}}}$=$\frac{{k（{\frac{{9{k^2}-24\sqrt{2}k-4}}{{4+9{k^2}}}+\frac{{9{k^2}+24\sqrt{2}k-4}}{{4+9{k^2}}}}）-2k}}{{\frac{{9{k^2}-24\sqrt{2}k-4}}{{4+9{k^2}}}-\frac{{9{k^2}+24\sqrt{2}k-4}}{{4+9{k^2}}}}}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{6}$，
故直线BB₁的斜率为定值$\frac{{\sqrt{2}}}{6}$．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式、三角形三边大小关系、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．