Question

13．若函数f（x）对于x∈R都有f（1-x）=f（1+x）和f（1-x）+f（3+x）=0成立，当x∈[0，1]时，f（x）=x，则f（2016）=0．

Answer 1

分析 由已知推导出f（x）是以4为周期的函数，再由当x∈[0，1]时，f（x）=x，能求出f（2016）．

解答 解：∵∵函数f（x）对于x∈R都有f（1-x）=f（1+x）和f（1-x）+f（3+x）=0成立，
∴f（x+1）=-f（x+3），
∴f（x）=-f（x+2），
∴f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x），
∴f（x）是以4为周期的函数，
∵当x∈[0，1]时，f（x）=x，
∴f（2016）=f（4×504）=f（0）=0．
故答案为：0．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．