Question

14．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，PA=PD=AD=PB=6，M为PC上一点，满足2PM=MC．
（1）若点N为AB边上的中点，试探究PN与平面BDM的位置关系，并说明理由；
（2）求三棱锥M-BDC的体积．

Answer 1

分析 （1）连结CN，交BD于E，连结ME，则△BEN∽△DEC，于是$\frac{CE}{CN}=\frac{2}{3}$．由2PM=MC得$\frac{CM}{PC}$=$\frac{2}{3}$．故而$\frac{CE}{CN}=\frac{CM}{PC}$，得到$\frac{CE}{CN}=\frac{CM}{PC}$，推出PN∥平面BDM．
（2）由PA=PD=AD=PB=AB=6，∠BAD=60°可得三棱锥P-ABD是棱长为6正四面体，求出P到底面的距离，根据$\frac{PM}{PC}=\frac{1}{3}$可得M到底面的距离，代入棱锥的体积公式计算即可．

解答 解（1）PN∥平面BDM．证明如下：
连结CN，交BD于E，连结ME，则△BEN∽△DEC，
∴$\frac{CE}{NE}=\frac{CD}{NB}=2$，∴$\frac{CE}{CN}=\frac{2}{3}$．
∵2PM=MC，∴$\frac{CM}{PC}$=$\frac{2}{3}$．
∴$\frac{CE}{CN}=\frac{CM}{PC}$，
∴PN∥ME，∵ME?平面BDM，PN?平面BDM，
∴PN∥平面BDM．
（2）过P做PF⊥平面ABCD，垂足为F，
∵PA=PD=AD=PB=AD=AB=6，∴F是△ABD的中心，
∴AF=2$\sqrt{3}$，∴PF=$\sqrt{P{A}^{2}-A{F}^{2}}$=2$\sqrt{6}$．
∴M到平面ABCD的距离d=$\frac{2}{3}$PF=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．
∴三棱锥M-BDC的体积V=$\frac{1}{3}$S_△BCD•d=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×6×6×sin60°$×$\frac{4\sqrt{6}}{3}$=12$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，点到平面的距离计算，棱锥的体积计算，属于中档题．