Question

18．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n+S_n=2n+1．
（1）求证：数列{a_n-2}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系可得：2a_n-a_n-1=2，变形为：a_n-2=$\frac{1}{2}（{a}_{n-1}-2）$，即可证明．
（2）利用等比数列的通项公式即可得出；
（3）利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （1）证明：∵a_n+S_n=2n+1，∴当n=1时，2a₁=3，解得a₁=$\frac{3}{2}$．
当n≥2时，a_n-1+S_n-1=2（n-1）+1，
∴2a_n-a_n-1=2，
变形为：a_n-2=$\frac{1}{2}（{a}_{n-1}-2）$，
∴数列{a_n-2}为等比数列，首项为-$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$．
（2）解：由（1）可得：a_n-2=$-\frac{1}{2}×（\frac{1}{2}）^{n-1}$=-$（\frac{1}{2}）^{n}$，
∴a_n=2-$（\frac{1}{2}）^{n}$，
（3）解：数列{a_n}的前n项和S_n=2n-$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$
=2n-1+$（\frac{1}{2}）^{n}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．