Question

10．已知直三棱柱ABC-A′B′C′中，∠ACB=90°，BE=GE，AG=A′G，F是线段A′C上的点，EF∥平面ACB．
（I）求证：BC⊥AF；
（2）若$\frac{CF}{CA′}$=λ，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）由已知得AA′⊥BC，AC⊥BC，从而BC⊥平面ACC′A′，由此能证明BC⊥AF．
（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出$λ=\frac{1}{4}$．

解答 证明：（1）∵直三棱柱ABC-A′B′C′中，∠ACB=90°，
∴AA′⊥BC，AC⊥BC，
∵AC∩BC=C，∴BC⊥平面ACC′A′，
∵F是线段A′C上的点，∴AF?平面ACC′A′，
∴BC⊥AF．
解：（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC′为z轴，建立空间直角坐标系，
∵BE=GE，AG=A′G，F是线段A′C上的点，EF∥平面ACB，
设AC=a，BC=b，AA₁=c，
∴B（0，b，0），G（a，0，$\frac{c}{2}$），E（$\frac{a}{2}，\frac{b}{2}，\frac{c}{4}$），A′（a，0，c），
∵$\frac{CF}{CA′}$=λ，∴F（λa，0，λc），∴$\overrightarrow{EF}$=（$λa-\frac{a}{2}$，-$\frac{b}{2}$，$λc-\frac{c}{4}$），
∵平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}$=$λc-\frac{c}{4}$=0，解得$λ=\frac{1}{4}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．