Question

9．设f（x）=x²-|x²-mx-4|，x∈[-4，4]的图象经过点（2，4）．
（1）求常数m的值；
（2）写出函数f（x）的单调区间；
（3）画出函数f（x）的图象．

Answer 1

分析 （1）由题意可得f（2）=4，解方程可得m=0；
（2）由绝对值的意义，可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4，-4≤x≤-2或2≤x≤4}\\{2{x}^{2}-4，-2＜x＜2}\end{array}\right.$，由二次函数的单调区间，即可得到所求；
（3）运用分段函数的图象画法，即可得到所求．

解答 解：（1）由题意可得f（2）=4，
即为4-|4-2m-4|=4，解得m=0；
（2）由（1）可得f（x）=x²-|x²-4|，
当x²-4≥0，解得x≥2或x≤-2，
由-4≤x≤4，即有-4≤x≤-2或2≤x≤4，
可得f（x）=x²-（x²-4）=4，为常数函数；
当x²-4＜0，解得-2＜x＜2，
由-4≤x≤4，即有-2＜x＜2，
可得f（x）=x²-（4-x²）=2x²-4，
单调减区间为（-2，0），增区间为（0，2）；
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4，-4≤x≤-2或2≤x≤4}\\{2{x}^{2}-4，-2＜x＜2}\end{array}\right.$，
画出函数的图象，如图：

点评 本题考查分段函数的图象和运用，考查函数的解析式和单调区间的求法，属于基础题．