题目内容
1．某软件公司新开发一款游戏软件，该软件按游戏的难易程度共设置若干关的闯关游戏，为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币（一种网络虚拟币）．设第n关奖励an个慧币，且满足$\frac{1}{2}$an≤an+1≤4an，a1=1，该软件提供了两种奖励方案：第一种，从第二关开始，每闯过一关奖励的慧币数是前一关的q倍；第二种，从第二关开始每一关比前一关多奖励d慧币（d∈R）；游戏规定：闯关者须于闯关前任选一种奖励方案．（Ⅰ）若选择第一种方案，设第一关到第n关奖励的总慧币数为Sn，即Sn=a1+a2+…+an，且$\frac{1}{2}$Sn≤Sn+1≤
4Sn，求q的取值范围；
（Ⅱ）如果选择第二种方案，且设置第一关到第k关奖励的总币数为100（即a1+a2+a3+…+ak=100，k∈N*）时获特别奖，为了增加获特别奖的难度，如何设置d的取值，使得k最大，并求k的最大值．
分析 （Ⅰ）由题意可得第一方案{an}是等比数列，先根据$\frac{1}{2}$an≤an+1≤4an，a1=1，求出q的范围，再根据条件和等比数列的求和公式和$\frac{1}{2}$Sn≤Sn+1≤4Sn，分类讨论，即可求出q的范围，
（Ⅱ）选择第二种方案{an}是等差数列，先根据$\frac{1}{2}$an≤an+1≤4an，a1=1，求出d和n的关系，再根据等差数列的求和公式和a1+a2+a3+…+ak=100，即可求出答案
解答 解：（Ⅰ）由题意可得第一方案{an}是等比数列，且$\frac{1}{2}$an≤an+1≤4an，a1=1，
∴$\frac{1}{2}$qn-1≤qn≤4qn-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{q}^{n-1}（q-\frac{1}{2}）≥0}\\{{q}^{n-1}（q-4）≤0}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{2}$≤q≤4，
∵$\frac{1}{2}$Sn≤Sn+1≤4Sn，当q=1时，$\frac{n}{2}$≤n+1≤4n，对任意n∈N*恒成立，故满足题意，
当q≠1时，$\frac{1}{2}$•$\frac{1-{q}^{n}}{1-q}$≤$\frac{1-{q}^{n+1}}{1-q}$≤4•$\frac{1-{q}^{n}}{1-q}$，
∴当q∈[$\frac{1}{2}$，1）时，$\left\{\begin{array}{l}{{q}^{n}（2q-1）≤1}\\{{q}^{n}（q-4）≥-3}\end{array}\right.$，由单调性可得$\left\{\begin{array}{l}{q（2q-1）≤1}\\{{q}^{\;}（q-4）≥-3}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}$≤q＜1，
当q∈（1，4]时，$\left\{\begin{array}{l}{{q}^{n}（2q-1）≥1}\\{{q}^{n}（q-4）≤-3}\end{array}\right.$，由单调性可得$\left\{\begin{array}{l}{q（2q-1）≥1}\\{q（q-4）≤-3}\end{array}\right.$，
解得1＜q≤3，
综上所述q∈[$\frac{1}{2}$，3]，
（Ⅱ）选择第二种方案{an}是等差数列，且$\frac{1}{2}$an≤an+1≤4an，a1=1，
∴$\frac{1}{2}$[1+（n-1）d≤1+nd≤4（1+（n-1）d），
∴$\left\{\begin{array}{l}{d（n+1）≥-1}\\{d（3n-4）≥-3}\end{array}\right.$，n=1，2，3，…，k-1，
∴当n=1时，-$\frac{1}{2}$≤d≤3，
当2≤n≤k-1时，d≥$\frac{-1}{n+1}$，
∵n≤k-1，
∴d≥$\frac{-1}{d}$≥$-\frac{1}{2}$，
∵d≥$\frac{-3}{3n-4}$，
∴d≥$\frac{-3}{3k-7}$，
而-$\frac{1}{k}$≥$\frac{-3}{3k-7}$，
∴d∈[-$\frac{1}{k}$，3]，
∵a1+a2+…+ak=100
∴Sk=$\frac{d}{2}$k2+（1-$\frac{d}{2}$）k=100，
∴d=$\frac{200-2k}{{k}^{2}-k}$，
∴$\frac{200-2k}{{k}^{2}-k}$∈[-$\frac{1}{k}$，3]，
解得k∈[9，199]，k∈Z，
∴k的最大值为199，且k取最大值时d=-$\frac{1}{199}$．
点评 本题考查数列知识在生产实际中的具体运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，仔细分析题设中的数量关系，合理地进行等价转化，属于难题
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