Question

13．已知矩阵M=$[{\begin{array}{l}1&0\\ 0&{\frac{1}{3}}\end{array}}]$
（1）求矩阵M的逆矩阵M^-1；
（2）求曲线|x|+|y|=1在矩阵M=$[{\begin{array}{l}1&0\\ 0&{\frac{1}{3}}\end{array}}]$对应的变换作用下得到的曲线C方程；
（3）求曲线C所围成图形的面积．

Answer 1

分析 （1）利用初等变换能求出矩阵M的逆矩阵M^-1．
（2）将曲线|x|+|y|=1在矩阵M=$[{\begin{array}{l}1&0\\ 0&{\frac{1}{3}}\end{array}}]$对应的变换作用进行化简，能求出曲线C的方程．
（3）作出曲线C所围成的图形即可得到结论．

解答 解：（1）∵M=$[{\begin{array}{l}1&0\\ 0&{\frac{1}{3}}\end{array}}]$，
∴[M|I]=$[\begin{array}{l}{1}&{0}&{\;}&{1}&{0}\\{0}&{\frac{1}{3}}&{\;}&{0}&{1}\end{array}]$→$[\begin{array}{l}{1}&{0}&{\;}&{1}&{0}\\{0}&{1}&{\;}&{0}&{3}\end{array}]$，
∴矩阵M的逆矩阵M^-1=$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{3}\end{array}]$．
（2）设曲线|x|+|y|=1上（x₀，y₀）在矩阵M=$[{\begin{array}{l}1&0\\ 0&{\frac{1}{3}}\end{array}}]$
对应的变换作用下得到的曲线对应点为（x，y），
∴$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{\frac{1}{3}}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{{x}_{0}}\\{{y}_{0}}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$，即x₀=x，y₀=3y，
代入|x|+|y|=1中得：|x|+|3y|=1，
∴曲线C方程为：|x|+|3y|=1．
（3）∵|x|+|3y|=1，
∴当x≥0，y≥0时，方程等价于x+3y=1；
当x≥0，y≤0时，方程等价于x-3y=1；
当x≤0，y≥0时，方程等价于-x+3y=1；
当x≤0，y≤0时，方程等价于-x-3y=1，
其图象为菱形ABCD，
则曲线C所围成图形的面积为S=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{2}{3}$=$\frac{2}{3}$．

点评 此题考查了几种特殊的矩形变换，确定出变换后的曲线方程是解本题的关键，是中档题．