Question

15．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距为2c（c＞0），左焦点为F，点M的坐标为（-2c，0）．若椭圆E上存在点P，使得PM=$\sqrt{2}$PF，则椭圆E离心率的取值范围是[$\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

Answer 1

分析 设P（x，y），由PM=$\sqrt{2}$PF⇒x²+y²=2c²．
只需x²+y²=2c²与椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）由公共点，即b≤$\sqrt{2}c$≤a，可求离心率的取值范围．

解答 解：设P（x，y），由PM=$\sqrt{2}$PF⇒PM²=2PF²⇒（x+2c）²+y²=2（x+c）²+2y²⇒x²+y²=2c²，
椭圆E上存在点P，使得PM=$\sqrt{2}$PF，则圆x²+y²=2c²与椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）由公共点，
∴b≤$\sqrt{2}c$≤a⇒$\frac{1}{3}≤\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}≤\frac{1}{2}$⇒$\frac{\sqrt{3}}{3}≤e≤\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：[$\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{2}}{2}$]

点评 本题考查了椭圆的离心率，关键是要结合图形，属于中档题．