Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，（n∈N^*），且a₁=1．
证明：数列{

an

2n-1

}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：等差关系的确定,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：充分利用S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，（n∈N^*），且a₁=1结合数列的S_n与a_n的关系得到数列{a_n}的递推公式，通过构造新数列得到数列{

an

2n-1

}是以1为首项，1为公差的等差数列，求出此数列的通项公式，从而求得数列{a_n}的通项公式．

解答： 证明∵Sn=an+1-2n+1+1，(n∈N*)a1=1，
∴S1=a2-22+1=1，解得a₂=4
由

Sn=an+1-2n+1+1，(n≥1) Sn-1=an-2n+1，(n≥2)

两式相减整理得an+1=2an+2n(n≥2)-------（4分）
检验知a₁=1，a₂=4满足an+1=2an+2n(n≥2)
∴an+1=2an+2n(n≥1)变形可得

an+1

2n

=

an

2n-1

+1(n≥1)
∴数列{

an

2n-1

}是以1为首项，1为公差的等差数列，--------（8分）
所以

an

2n-1

=n，
解得an=n•2n-1(n≥1)------------------（10分）

点评：本题考查了等差数列的证明；关键利用已知得到数列{a_n}的递推公式，变形后得到新的数列{

an

2n-1

}是以1为首项，1为公差的等差数列，属于中档题．