Question

7．已知椭圆Γ：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左顶点为A，右焦点为F₂，过点F₂作垂直于x轴的直线交该椭圆于M、N两点，直线AM的斜率为$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆Γ的离心率；
（2）若△AMN的外接圆在点M处的切线与椭圆交于另一点D，△F₂MD的面积为$\frac{6}{7}$，求椭圆Γ的标准方程．

Answer 1

分析 （1）由题意M（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），因为A（-a，0），所以$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{a+c}=\frac{1}{2}$，$\frac{a-c}{a}=1-e=\frac{1}{2}$，可得椭圆Γ的离心率
（2）由（1）可知，a=2c，由b²=a²-c²=4c²-c²=3c²，∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}=1$，
M（c，$\frac{3}{2}$c），A（-2c，0），设外接圆的圆心为T（t，0），由丨TA丨=丨TM丨得（t+2c）²=（t-c）²+$\frac{9}{4}$c²，解得t=-$\frac{c}{8}$．
求得切线方程，代入椭圆方程，求得丨MD丨，根据点到直线的距离公式及三角形面积公式，代入即可求得c的值，求得椭圆方程．

解答 解：（1）由题意M（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），因为A（-a，0），所以$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{a+c}=\frac{1}{2}$，$\frac{a-c}{a}=1-e=\frac{1}{2}$，e=$\frac{1}{2}$，∴椭圆Γ的离心率为$\frac{1}{2}$．
（2）由（1）可知，a=2c，由b²=a²-c²=4c²-c²=3c²，∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}=1$，
M（c，$\frac{3}{2}$c），A（-2c，0），设外接圆的圆心为T（t，0），由丨TA丨=丨TM丨得（t+2c）²=（t-c）²+$\frac{9}{4}$c²，解得t=-$\frac{c}{8}$．
k_TM=$\frac{\frac{3}{2}c}{c+\frac{c}{8}}=\frac{4}{3}$，∴切线斜率k=-$\frac{3}{4}$，∴∴切线方程为3x+4y-9c=0，
代入椭圆方程消y得7x²-18cx+11c²=0，
△=18²c²-4×7×11c²=16c²＞0，x_D=$\frac{11c}{7}$，y_D=$\frac{25c}{14}$，
∴丨MD丨=$\sqrt{（{x}_{C}-{x}_{D}）^{2}+（{y}_{C}-{y}_{D}）^{2}}=\frac{5c}{7}$，F₂点到CD的距离d=$\frac{6c}{5}$，
由S=$\frac{1}{2}$丨CD丨•d，得$\frac{1}{2}×\frac{5c}{7}×\frac{6c}{5}=\frac{3}{7}{c}^{2}=\frac{6}{7}$，∴c²=2，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$

点评 题考查椭圆的标准方程及简单性质，直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离公式及三角形面积公式，考查计算能力，属于中档题．