Question

15．已知$\overrightarrow{m}$=（sinωx+cosωx，$\sqrt{3}$cosωx），$\overrightarrow{n}$=（cosωx-sinωx，2sinωx）（ω＞0），函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，若f（x）相邻两对称轴间的距离不小于$\frac{π}{2}$．
（1）求ω的取值范围；
（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a=2，当ω最大时，f（A）=1，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=（sinωx+cosωx） （cosωx-sinωx）+2$\sqrt{3}$cosωx•sinωx=cos2ωx+$\sqrt{3}$sin2ωx=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$），由f（x）相邻两对称轴间的距离不小于$\frac{π}{2}$，则$\frac{2π}{2ω}≥π$，解得ω的范围；                       
（2）当ω=1时，$f（A）=2sin（{2A+\frac{π}{6}}）=1$，求得A，由余弦定理、不等式的性质，得bc的最大值，

解答 解：（1）函数f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=（sinωx+cosωx） （cosωx-sinωx）+2$\sqrt{3}$cosωx•sinωx
=cos2ωx+$\sqrt{3}$sin2ωx=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$），
f（x）相邻两对称轴间的距离不小于$\frac{π}{2}$∴T≥π，则$\frac{2π}{2ω}≥π$，解得0＜ω≤1；                           
（2）∵当ω=1时，$f（A）=2sin（{2A+\frac{π}{6}}）=1$，且A∈（0，π），
∴$A=\frac{π}{3}$，$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{{{b^2}+{c^2}-4}}{2bc}=\frac{1}{2}$，
∴b²+c²=bc+4，又b²+c²≥2bc，
∴bc+4≥2bc，即bc≤4，当且仅当b=c=2时，bc=4，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA≤2sin\frac{π}{3}=\sqrt{3}$．       …（12分）

点评 本题考查了向量的数量积、余弦定理的综合应用，属于中档题．