Question

已知S_n为等差数列{a_n}的前n项和，若S₈=68，a₇=16．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）在等比数列{b_n}中，b₁=a₃，b₂=a₁，b₃=a₂，设T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，r_n=T_n-

1

Tn

（n∈N^*），求数列{r_n}的最大项与最小项的值．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由等差数列的通项公式及前n项和公式联立方程组解得a₁与d；
（2）由等比数列的前n项和公式求得T_n，通过讨论n的奇偶性判定T_n的增减性即可．

解答： 解：（1）由S₈=68，a₇=16得

8a1+ 8×7 2 d=68 a1+6d=16

  解得a₁=-2，d=3
∴a_n=-2+3（n-1）即a_n=3n-5．
（2）∵b₁=a₃=4，b₂=a₁=-2，b₃=a₂=1
∴q=-

1

2

，b₁=4
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=

4[1-(- 1 2 )n]

1-(- 1 2 )

=

8[1-(- 1 2 )n]

3

∵当n为奇数时，1-(-

1

2

)n=1+

1

2n

为减函数，此时1-(-

1

2

)n＞1；
当n为偶数时，1-(-

1

2

)n=1-

1

2n

为增函数，此时0＜1-(-

1

2

)n＜1；
∴当n=1时，T_n有最大值，当n=2时，T_n有最小值，
又T_n与-

1

Tn

具有相同的单调性，
∴当n=1时，（r_n）_max=T1-

1

T1

=4-

1

4

=

15

4

；
当n=2时，（r_n）_min=T2-

1

T2

=2-

1

2

=

3

2

．

点评：考查等差数列及等比数列的定义及公式的运用，以及函数单调性的判断，注意n的奇偶的讨论．