题目内容
已知下列命题中：
①若
•
=
•
，则
=
；
②x=
是函数y=sin（2x+
）的一条对称轴方程；
③已知△ABC中，a=4
，b=4，∠B=30°，则∠A等于60°；
④存在实数x，使得sinx+cosx=
成立；
⑤已知函数f（x）=
，则方程f（x）=x在[-2，2]上的实数解的个数为3．
其中正确的命题序号为 ．
①若
| a |
| b |
| a |
| c |
| b |
| c |
②x=
| π |
| 8 |
| 5π |
| 4 |
③已知△ABC中，a=4
| 3 |
④存在实数x，使得sinx+cosx=
| π |
| 2 |
⑤已知函数f（x）=
|
其中正确的命题序号为
考点：命题的真假判断与应用
专题：阅读型,三角函数的图像与性质
分析：由向量的数量积的定义可判断①；根据正弦函数的对称轴方程，令2x+
=kπ+
，求出x，考虑k，即可判断②；由正弦定理求出sinA，由a＞b，得A＞B，从而得到A，即可判断③；化简sinx+cosx，求出最大值，并与
比较，从而判断④；可画出函数f（x）在[-2，2]的图象和y=x在[-2，2]的图象，并结合零点存在定理，即可判断⑤．
| 5π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
解答：
解：①若
•
=
•
，则
•(
-
)=0，故
=
或
-
=
或
⊥(
-
)，故①错；
②令2x+
=kπ+
，则x=
-
，k∈Z，当k=1时，
即为x=
，故②正确；
③由正弦定理得，
=
即sinA=
，又a＞b，即A＞B，
则A=120°或60°，故③错；
④由于sinx+cosx=
sin（x+
），即最大值为
，而
＞
，
故不存在实数x，故④错；
⑤令
=x，则x=0或1∈[-2，2]，
令g（x）=sinπx-x（-2≤x＜0），g（-2）=2＞0，g（-1.5）=2.5＞0，
g（-1）=1＞0，g（-0.5）=-0.5＜0，g（0）=0，
由零点存在定理得，在（-1，-0.5）恰有一个零点，
如图，故方程f（x）=x在[-2，2]上的实数解的个数为3，故⑤正确．
故答案为：②⑤
解：①若| a |
| b |
| a |
| c |
| a |
| b |
| c |
| a |
| 0 |
| b |
| c |
| 0 |
| a |
| b |
| c |
②令2x+
| 5π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| kπ |
| 2 |
| 3π |
| 8 |
即为x=
| π |
| 8 |
③由正弦定理得，
4
| ||
| sinA |
| 4 |
| sin30° |
| ||
| 2 |
则A=120°或60°，故③错；
④由于sinx+cosx=
| 2 |
| π |
| 4 |
| 2 |
| π |
| 2 |
| 2 |
故不存在实数x，故④错；
⑤令
| x |
令g（x）=sinπx-x（-2≤x＜0），g（-2）=2＞0，g（-1.5）=2.5＞0，
g（-1）=1＞0，g（-0.5）=-0.5＜0，g（0）=0，
由零点存在定理得，在（-1，-0.5）恰有一个零点，
如图，故方程f（x）=x在[-2，2]上的实数解的个数为3，故⑤正确．
故答案为：②⑤
点评：本题以命题的真假判断为载体，考查向量数量积的性质，即不满足消去律，考查三角函数的图象与性质，以及函数的零点问题，注意结合图象考虑．
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