Question

已知函数f（x）=e^x-1-x．
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）当函数自变量的取值区间与对应函数值的取值区间相同时，这样的区间称为函数的保值区间．设g（x）=（f′（x）+1）（x²-1），试问函数g（x）在（1，+∞）上是否存在保值区间？若存在，请求出一个保值区间；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导数，确定函数的单调性，即可求f（x）的最小值；
（Ⅱ）假设函数g（x）存在保值区间[a，b]，可得方程（x²-1）e^x=x有两个大于1的相异实根．设φ（x）=（x²-1）e^x-x（x＞1），证明φ（x）在（1，+∞）上单增，可得φ（x）在区间（1，+∞）上至多有一个零点，与方程（x-1）²e^x=x有两个大于1的相异实根矛盾，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）求导数，得f'（x）=e^x-1．
令f'（x）=0，解得x=0．                 …（2分）
当x＜0时，f'（x）＜0，所以f（x）在（-∞，0）上是减函数；
当x＞0时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上是增函数．
故f（x）在x=0处取得最小值f（0）=0．  …（6分）
（Ⅱ）函数g（x）在（1，+∞）上不存在保值区间，证明如下：
假设函数g（x）存在保值区间[a，b]，
由g（x）=（x²-1）e^x得：g'（x）=（x²+2x-1）e^x
因x＞1时，g'（x）＞0，所以g（x）为增函数，所以

g(a)=(a2-1)ea=a g(b)=(b2-1)eb=b

即方程（x²-1）e^x=x有两个大于1的相异实根  …（9分）
设φ（x）=（x²-1）e^x-x（x＞1），则φ'（x）=（x²+2x-1）e^x-1
因x＞1，φ'（x）＞0，所以φ（x）在（1，+∞）上单增
所以φ（x）在区间（1，+∞）上至多有一个零点      …（12分）
这与方程（x-1）²e^x=x有两个大于1的相异实根矛盾
所以假设不成立，即函数h（x）在（1，+∞）上不存在保值区间．…（13分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查新定义，考查小时分析解决问题的能力，属于中档题．