Question

已知直三棱柱ABC--A₁B₁C₁中，AB=4，AC=AA₁=2，∠ACB=90°．
（1）求证：A₁C⊥B₁C₁．
（2）求点B₁到平面A₁BC的距离．
（3）求二面角C₁-A₁B-C的余弦大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的性质,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得B₁C₁⊥A₁C，B₁C₁⊥A₁C₁，由此能证明A₁C⊥B₁C₁．
（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C₁-A₁B-C的余弦大小．

解答： （1）证明：∵直三棱柱ABC--A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面A₁B₁C₁，
∴B₁C₁⊥A₁C，
∵∠ACB=90°，∴∠A₁C₁B₁=90°，∴B₁C₁⊥A₁C₁，
∵A₁C∩A₁C₁=A₁，
∴B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，
又A₁C?平面ACC₁A₁，∴A₁C⊥B₁C₁．
（2）解：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
C（0，0，0），B（0，2

3

，0），A₁（2，0，2），B₁（0，2

3

，2），

CA1

=（2，0，2），

CB

=（0，2

3

，0），

CB1

=（0，2

3

，2），
设平面A₁BC的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • CA1 =2x+2z=0 n • CB =2 3 y=0

，取x=1，得

n

=（1，0，-1），
∴点B₁到平面A₁BC的距离d=

| CB1 • n |

| n |

=

|-2|

2

=

2

．
（3）解：C₁（0，0，2），

C1A1

=（2，0，0），

C1B

=（0，2

3

，-2），
设平面C₁A₁B的法向量

m

=（a，b，c），
则

m • C1A1 =2a=0 m • C1B =2 3 b-2c=0

，取b=1，得

m

=（0，1，

3

），
又平面A₁BC的法向量

n

=（1，0，-1），
设二面角C₁-A₁B-C的平面角为θ，
cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

- 3

2 2

|=

6

4

．
∴二面角C₁-A₁B-C的余弦大小为

6

4

．

点评：本题考查点到平面的距离的求法，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．