Question

已知M（a，2）是抛物线y²=2x上的一点，倾斜角为锐角的直线MP，MQ分别与抛物线交于P，Q两点，且直线MP，MQ的斜率之积为0.25，则直线PQ斜率的最大值是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：由已知得M（2，2），设PM的斜率为k（k＞0），则MQ的斜率为

1

4k

，直线PM的方程为y-2=k（x-2），代入抛物线y²=2x，得y2-

2y

k

+

4

k

-4=0，从而P（2（

1

k

-1）²，

2

k

-2），同理Q（2（4k-1）²，2（4k-1）），由此能求出直线PQ的斜率的最大值．

解答： 解：∵M（a，2）是抛物线y²=2x上的一点，
∴2a=4，解得a=2，即M（2，2），
设PM的斜率为k（k＞0），
∵且直线MP，MQ的斜率之积为0.25，∴MQ的斜率为

1

4k

，
∴直线PM的方程为y-2=k（x-2），代入抛物线y²=2x，并消x，得：
y2-

2y

k

+

4

k

-4=0，
∴此直线与抛物线交于P，M两点，∴2y_P=

4

k

-4，
∴yP=

2

k

-2，∴P（2（

1

k

-1）²，

2

k

-2），
同理，Q点坐标为Q（2（4k-1）²，2（4k-1）），
∴PQ的斜率k=

2(4k-1)-( 2 k -2)

[2(4k-1)2]-[2( 1 k -1)2]

=

1

4k+ 1 k -2

≤

1

2 4k× 1 k -2

=

1

2

，
当且仅当4k=

1

k

，即k=

1

2

时，取等号，
∴直线PQ的斜率的最大值为

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题考查直线的斜率的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．