Question

下列命题正确的个数是（　　）
①“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”是真命题；
②函数 f（x）=cos²ax-sin²ax的最小正周期为“π是“a=1”的必要不充分条件；
③“?x∈R，x³-x²+1≤0”的否定是“?x∈R，x³-x²+1＞0”；
④向量

a

=（1，-2）与

b

=（1，m）的夹角为锐角，则m的取值范围为（-∞，

1

2

）．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：三角函数的图像与性质,解三角形,平面向量及应用,简易逻辑

分析：①，在三角形ABC中，利用正弦定理可由sinA＞sinB⇒a＞b，再由大边对大角，可得A＞B，从而可判断①；
②，利用二倍角的余弦公式及余弦函数的周期公式，结合充分必要条件的概念可判断②；
③，全称命题的否定是特称命题，写出命题：“?x∈R，x³-x²+1≤0”的否定，可判断③；
④，利用向量的数量积的坐标运算可判断④．

解答： 解：①，在三角形ABC中，若sinA＞sinB，由正弦定理可知a＞b，故A＞B（大边对大角），是真命题，故①正确；
②，∵函数f（x）=cos²ax-sin²ax=cos2ax的最小正周期为T=

2π

2|a|

=π，
∴|a|=1，解得a=±1，充分性不成立；
反之，若a=1，函数f（x）的最小正周期为π，必要性成立，
∴函数 f（x）=cos²ax-sin²ax的最小正周期为“π是“a=1”的必要不充分条件，故②正确；
③“?x∈R，x³-x²+1≤0”的否定是“?x∈R，x³-x²+1＞0”，故③正确；
④向量

a

=（1，-2）与

b

=（1，m）的夹角为锐角，则1×1-2m＞0，解得m＜

1

2

，
∴m的取值范围为（-∞，

1

2

），故④正确．
综上所述，正确的命题为：①②③④．
故选：D．

点评：本题考查向量的真假判断与应用，主要考查正弦定理、二倍角的余弦公式及余弦函数的周期公式，考查充分必要条件的概念及全称命题与特称命题之间的关系，属于中档题．