Question

19．在一个数列中，如果对于所有的n∈N^*，都有a_na_n+1a_n+2=k（k为常数），那么这个数列叫做“等积数列”，k叫做这个数列的“公积”．已知数列{a_n}是等积数列，且a₁=1，a₂=2，公积为8，则数列{a_n}的前41项的和为（　　）

• A． 91
• B． 92
• C． 94
• D． 96

Answer 1

分析 根据“等积数列”的概念，a₁=1，a₂=2，公积为8，可求得a₃，a₄，…a₄₁，利用数列的求和公式即可求得答案．

解答 解：依题意，数列{a_n}是等积数列，且a₁=1，a₂=2，公积为8，
∴a₁•a₂•a₃=8，即1×2a₃=8，
∴a₃=4．
同理可求a₄=1，a₅=2，a₆=4，…
∴{a_n}是以3为周期的数列，
∴a₁=a₄=a₇=a₁₀=a₁₃=a₁₆=a₁₉=a₂₂=a₂₅=a₂₈=a₃₁=a₃₄=a₃₇=a₄₀=1，
a₂=a₅=a₈=a₁₁=a₁₄=a₁₇=a₂₀=a₂₃=a₂₆=a₂₉=a₃₂=a₃₅=a₃₈=a₄₁=2，
a₃=a₆=a₉=a₁₂=a₁₅=a₁₈=a₂₁=a₂₄=a₂₇=a₃₀=a₃₃=a₃₆=a₃₉=4．
∴a₁+a₂+a₃+…+a₄₁=（1+2+4）×14-4=94．
故选：C．

点评 本题考查数列的求和，求得{a_n}是以3为周期的数列是关键，考查分析观察与运算能力，是中档题．