题目内容
9．设函数f（x）=|x-2|+|x+3|，x∈R．（1）求不等式f（x）≤x+5的解集；
（2）如果关于x的不等式f（x）≥a2+4a在R上恒成立，求实数a的取值范围．
分析 （1）利用分段函数，分类讨论求得不等式的解集．
（2）先利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值，再根据次最小值大于或等于a2+4a，求得实数a的取值范围．
解答 解：（1）∵$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-2x-1（{x≤-3}）}\\{5（{-3＜x＜2}）}\\{2x+1（{x≥2}）}\end{array}}\right.$，当x≤-3时，-2x-1≤x+5，∴x＞-2，不等式无解；
当-3＜x＜2时，5≤x+5，∴求得 0≤x＜2；
当x≥2时，2x+1≤x+5，∴求得2≤x≤4．
综上可得，不等式f（x）≤x+5的解集为{x|0≤x≤4}．
（2）f（x）=|x-2|+|x+3|≥|x-2-（x+3）|=5，
由a2+4a≤5，得-5≤a≤1，实数a的取值范围为[-5，1]．
点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．
练习册系列答案
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19．在一个数列中，如果对于所有的n∈N*，都有anan+1an+2=k（k为常数），那么这个数列叫做“等积数列”，k叫做这个数列的“公积”．已知数列{an}是等积数列，且a1=1，a2=2，公积为8，则数列{an}的前41项的和为（ ）
| A． | 91 | B． | 92 | C． | 94 | D． | 96 |
4．设复数 $\frac{2-i}{z}$=1+i，则$\overline z$=（ ）
| A． | $\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i$ | B． | $\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$ | C． | $\frac{3}{2}+\frac{1}{2}i$ | D． | $\frac{3}{2}-\frac{1}{2}i$ |