Question

8．△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，DC=3，则AD的长为6．

Answer 1

分析 过B作BE⊥AC，垂足为E交AD于F，由题意可知：BE=AE，∠EAF=∠EBC，由$\left\{\begin{array}{l}{∠EAF=∠EBC}\\{BE=AE}\\{∠FEA=∠CEB=90°}\end{array}\right.$，△AFE≌△BCE，求得AF=BC=BD+DC=5，∠FBD=∠DAC，由∠BDF=∠ADC=90°，可知△BDF∽△ADC，可得FD：DC=BD：AD，代入即可求得FD，即可求得AD的长．

解答 解：如图，过B作BE⊥AC，垂足为E交AD于F，
∵∠BAC=45°
∴BE=AE，

∵∠C+∠EBC=90°，∠C+∠EAF=90°，
∴∠EAF=∠EBC，
在△AFE与△BCE中，
由$\left\{\begin{array}{l}{∠EAF=∠EBC}\\{BE=AE}\\{∠FEA=∠CEB=90°}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△BCE，
∴AF=BC=BD+DC=5，∠FBD=∠DAC，
又∵∠BDF=∠ADC=90°，
∴△BDF∽△ADC，
∴FD：DC=BD：AD，
设FD长为x，则x：3=2：（x+5），
解得：x=1，即FD=1，
∴AD=AF+FD=5+1=6，
故答案为：6．

点评 本题考查三角形全等及相似的性质，考查计算能力，数形结合思想，属于中档题．