Question

4．已知P是等腰直角△ABC的斜边BC上的动点，|$\overrightarrow{AB}$|=2，则$\overrightarrow{AP}$•（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=4．

Answer 1

分析 由题意画出图形，把$\overrightarrow{AP}$用$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AC}$表示，展开后得答案．

解答 解：如图，

∵|$\overrightarrow{AB}$|=$|\overrightarrow{AC}|$=2，
∴$\overrightarrow{AP}$•（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}）•（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$=$（\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{BC}）•（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$
=$[λ\overrightarrow{AC}+（1-λ）\overrightarrow{AB}]•（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$=$λ\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+λ{\overrightarrow{AC}}^{2}+（1-λ）{\overrightarrow{AB}}^{2}+（1-λ）\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$
=4λ+4-4λ=4．
故答案为：4．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于中档题．