Question

某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为

2

3

，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为P₀（0＜P₀＜1），中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
（Ⅰ）张三选择方案甲抽奖，李四选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，若X≤3的概率为

7

9

，求P₀；
（Ⅱ）若张三、李四两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差

专题：计算题,概率与统计

分析：（Ⅰ）记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件是“X=5”，由题意知，先根据相互独立事件的乘法公式求出对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式，结合X≤3的概率为

7

9

，即可求P₀；
（Ⅱ）设张三、李四两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X₁，张三、李四两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X₂，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X₁），都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X₂）．根据题意知X₁～B（2，

2

3

），X₂～B（2，P₀），利用贝努利概率的期望公式计算，再分类讨论，从而得出答案．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得，张三中奖的概率为

2

3

，李四中奖的概率为P₀，且两人中奖与否互不影响．
记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件为“X=5”，
因为P（X=5）=

2

3

×P₀，所以P（A）=1-P（X=5）=1-

2

3

×P₀=

7

9

，
所以P0=

1

3

．
（Ⅱ）设张三、李四都选择方案甲抽奖中奖次数为X₁，都选择方案乙抽奖中奖次数为X₂，
则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E（2X₁），
选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E（3X₂）．
由已知可得，X₁～B（2，

2

3

），X₂～B（2，P₀），
所以E（X₁）=2×

2

3

=

4

3

，E（X₂）=2×P₀，
从而E（2X₁）=2E（X₁）=

8

3

，E（3X₂）=3E（X₂）=6P₀．
若E（2X₁）＞E（3X₂），则

8

3

＞6P₀，所以0＜P₀＜

4

9

；
若E（2X₁）＜E（3X₂），则

8

3

＜6P₀，所以

4

9

＜P₀＜1；
若E（2X₁）=E（3X₂），则

8

3

=6P₀，所以P₀=

4

9

．

点评：本题考查利用概率知识解决实际问题，考查分类讨论的数学思想，考查数学期望的计算，确定X服从的分布是解题的关键．