Question

某电视台举办猜歌曲的娱乐节目：随机播放歌曲片段，选手猜出歌曲名称可以赢取奖金．曲库中歌曲足够多，不重复抽取．比赛共分7关：前4关播放常见歌曲；第5，6关播放常见或罕见歌曲，曲库中常见歌曲与罕见歌曲数量比为1：4；第7关播放罕见歌曲．通过关卡与对应的奖金如右表所示．选手在通过每一关（最后一关除外）之后可以自主决定退出比赛或继续闯关；若退出比赛，则可获得已经通过关卡对应奖金之和；若继续闯关但闯关失败，则不获得任何奖金．

关卡	关卡奖金/元	累计奖金/元
1	1000	1000
2	2000	3000
3	3000	6000
4	4000	10000
5	8000	18000
6	12000	30000
7	20000	50000

（Ⅰ）选手甲准备参赛，在家进行自我测试：50首常见歌曲，甲能猜对40首；40首罕见歌曲，甲只能猜对2首，以他猜对常见歌曲与罕见歌曲的频率最为概率．
①若比赛中，甲已顺利通过前5关，求他闯过第6关的概率是多少？
②在比赛前，甲计划若能通过第1，2，3关的任意一关，则继续；若能通过第4关，则退出，求这种情况下甲获得奖金的数学期望；
（Ⅱ）设选手乙猜对罕见歌曲的概率为p，且他已经顺利通过前6关，当p满足什么条件时，他选择继续闯第7关更有利？

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式

专题：计算题,概率与统计

分析：（Ⅰ）①根据甲已顺利通过前5关，结合50首常见歌曲，甲能猜对40首；40首罕见歌曲，甲只能猜对2首，即可求他闯过第6关的概率；
②设甲获得奖金为X元，求出P（X=0）=1-(

4

5

)4，P（X=10000）=(

4

5

)4，即可求这种情况下甲获得奖金的数学期望；
（Ⅱ）求出他已经顺利通过前6关，可获奖金30000元，选择继续闯第7关，可获奖金的数学期望，建立不等式，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）①比赛中，甲已顺利通过前5关，他闯过第6关的概率是

1

5

•

40

50

+

4

5

•

2

40

=

1

5

；
②设甲获得奖金为X元，则P（X=0）=1-(

4

5

)4，P（X=10000）=(

4

5

)4，
∴EX=0×[1-(

4

5

)4]+10000×(

4

5

)4=4096；
（Ⅱ）他已经顺利通过前6关，可获奖金30000元，
设他选择继续闯第7关，可获奖金Y元，则P（Y=0）=1-p，P（Y=50000）=p，
∴EY=50000p，
令50000p＞30000，则p＞

3

5

，
即p＞

3

5

时，选择继续闯第7关更有利．

点评：此题考查了学生的理解题意的能力，考查了离散型随机变量的定义与期望，考查学生的计算能力，属于中档题．