Question

设数列{a_n}是公比为正数的等比数列，a₁=2，a₃=2a₂+6．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得2q²=4q+6，且q＞0，由此能求出a_n=2•3^n-1．
（2）a_nb_n=（4n-2）•3^n-1，由此利用错位相减法能求出数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}是公比为正数的等比数列，a₁=2，a₃=2a₂+6，
∴2q²=4q+6，且q＞0，
解得q=3，
∴a_n=2•3^n-1．
（2）∵数列{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴b_n=1+（n-1）×2=2n-1，
∴a_nb_n=（4n-2）•3^n-1，
∴S_n=2•3⁰+6•3+10•3²+…+（4n-2）•3^n-1，①
3S_n=2•3+6•3²+10•3³+…+（4n-2）•3ⁿ，②
①-②，得：
-2S_n=2+4（3+3²+…+3^n-1）-（4n-2）•3ⁿ
=2+4×

3(1-3n-1)

1-3

-（4n-2）•3ⁿ
=2+6•3^n-1-6-（4n-2）•3ⁿ
=-4-（4n-4）•3ⁿ，
∴Sn=(2n-2)•3n+2．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．