Question

已知在△ABC中，A＞B，且tanA与tanB是方程x²-5x+6=0的两个根．
（Ⅰ）求tan（A+B）的值；
（Ⅱ）若AB=

5

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）由所给条件，求得tanA=3，tanB=2，再根据tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

，计算求得结果．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，tanC=1，可得C=45°．由tanA=3，求得sinA的值，利用正弦定理求得BC的值，由tanB=2，求得sinB的值，从而求S△ABC=

1

2

AB•BC•sinB的值．

解答： 解：（Ⅰ）由所给条件，方程x²-5x+6=0的两根，A＞B，可得 tanA=3，tanB=2，
∴tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-1．
（Ⅱ）∵A+B+C=180°，∴C=180°-A-B．
由（Ⅰ）知，tanC=-tan（A+B）=1，
∵C为三角形的内角，∴C=45°，sinC=

2

2

．
∵tanA=3，A为三角形的内角，∴sinA=

3

10

．
由正弦定理得：

AB

sinC

=

BC

sinA

，∴.BC=

5

2 2

×

3

10

=3．
由tanB=2，∴sinB=

2

5

，∴S△ABC=

1

2

AB•BC•sinB=

1

2

×

5

×3×

2

5

=3．

点评：本题主要考查两角和差的正切公式、诱导公式、三角形内角和公式、正弦定理的应用，属于基础题．