Question

已知曲线C：x²+y²-2x-4y+m=0．
（1）当m为何值时，曲线C表示圆；
（2）在（1）的条件下，若曲线C与直线3x+4y-6=0交于M、N两点，且|MN|=3

3

，求m的值；
（3）在（1）的条件下，设直线x-y-1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数m，使得以AB为直径的圆过原点，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用,二元二次方程表示圆的条件

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）由D²+E²-4F=4+16-4m=20-4m＞0，得m的范围；
（2）求出圆心C（1，2）到直线3x+4y-6=0的距离，利用|MN|=3

3

，求m的值；
（3）把存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点转化为k_OA•k_OB=-1，即x₁x₂+y₁y₂=0，整理后代入根与系数关系求解实数k的值．

解答： 解：（1）由D²+E²-4F=4+16-4m=20-4m＞0，得m＜5．…（3分）
（2）x²+y²-2x-4y+m=0，即（x-1）²+（y-2）²=5-m，
所以圆心C（1，2），半径r=

5-m

，…（4分）
∵圆心C（1，2）到直线3x+4y-6=0的距离d=

|3+8-6|

32+42

=1…（5分）
又|MN|=2

3

，∴r2=12+(

3

)2=4，即5-m=4，∴m=1．…（6分）
（3）假设存在实数m使得以AB为直径的圆过原点，则OA⊥OB，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁x₂+y₁y₂=0，…（7分）
由

x2+y2-2x-4y+m=0 x-y-1=0

得2x²-8x+5+m=0，…（8分）∴△=64-8（m+5）=24-8m＞0，即m＜3，又由（1）知m＜5，
故m＜3…（9分）x1+x2=4，x1x2=

m+5

2

…（10分）∴y1y2=(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=

m+5

2

-3=

m-1

2

…（11分）
∴x1x2+y1y2=

m+5

2

+

m-1

2

=m+2=0∴m=-2＜3…（12分）
故存在实数m使得以AB为直径的圆过原点，m=-2．  …（13分）

点评：本题考查方程表示圆时实数m的取值范围的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，考查满足条件的实数是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．